Las leyes de los exponentes son fundamentales en el álgebra y otras áreas de las matemáticas para trabajar eficientemente con potencias. Estas reglas ayudan a simplificar y resolver expresiones y ecuaciones de una manera más sistemática.
Potenciación
La potenciación es una operación matemática donde un número se multiplica por sí mismo un número determinado de veces. En esta operación, el número que se multiplica se llama “base” y el número de veces que se multiplica se llama “exponente”. La potenciación se representa como , donde
es la base y
es el exponente. Los conceptos que debemos saber son:
- Base: Es el número que se va a multiplicar por sí mismo.
- Exponente: Indica cuántas veces se multiplica la base.
- Potencia: Es el resultado de la operación de potenciación.
La potenciación implica multiplicar la base por sí misma tantas veces como lo indique el exponente. Por ejemplo, 3⁴ significa 3x3x3x3, lo cual da como resultado 81.
Propiedades de la Potenciación
Producto de Potencias con la Misma Base
aᵐxaⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Esta ley es útil cuando se multiplican potencias que comparten la misma base. La operación consiste en sumar los exponentes mientras se mantiene la base común. Esto se basa en el principio de que multiplicar repetidamente una base es equivalente a sumar los exponentes.
- Ejemplo: Considera 2³x2⁴. Aquí, 2³ significa 2x2x2 y 2⁴ significa 2x2x2x2. Al multiplicar ambas, efectivamente estás multiplicando siete 2s juntos, lo que es igual a 2⁷.
2³x2⁴ = 2⁷
Cociente de Potencias con la Misma Base
aᵐ÷aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Esta ley se aplica al dividir potencias con la misma base. Aquí, se resta el exponente del divisor del exponente del dividendo. La base permanece constante. Esto se deriva de la idea de que dividir por una base elevada a un exponente es lo mismo que eliminar ese número de instancias de la base del numerador.
- Ejemplo: En 5⁶÷5², se están eliminando dos instancias de 5 del numerador, lo que deja
como resultado.
5⁶÷5² = 5⁴
Potencia de una Potencia
(aᵐ)ⁿ = aᵐ⁽ⁿ⁾
Cuando se eleva una potencia a otra potencia, los exponentes se multiplican. Esto se basa en el principio de que elevar a una potencia es equivalente a multiplicar el exponente por el número de veces indicado por la potencia exterior.
- Ejemplo: En (3²)⁽⁴⁾ el 3 se está elevando al cuadrado, y luego este resultado se eleva a la cuarta potencia. Es como si el 3 se multiplicara por sí mismo 2 veces, y luego este proceso se repitiera 4 veces, lo cual es equivalente a elevar 3 a la 8va potencia.
(3²)⁽⁴⁾ = 3⁸
Potencia de un Producto
(ab)ⁿ = aⁿxbⁿ
Esta ley establece que al elevar un producto a una potencia, cada factor del producto se eleva individualmente a esa potencia. Esto se debe a que la multiplicación distributiva funciona también con las potencias.
- Ejemplo: Al evaluar (2×3)³, cada factor (2 y 3) se eleva al cubo por separado. Es lo mismo que multiplicar 2 por sí mismo tres veces y hacer lo mismo con 3, y luego multiplicar ambos resultados.
(2×3)³ = (2)³(3)³
Potencia de un Cociente
Similar a la potencia de un producto, al elevar un cociente a una potencia, tanto el numerador como el denominador se elevan a esa potencia. Esto se debe a que la operación de potencia se aplica de manera independiente tanto al numerador como al denominador.
- Ejemplo: Al calcular (4/2)², tanto 4 como 2 se elevan al cuadrado, resultando en
16/4, lo que simplifica aún más a 4.
Exponente Cero
a⁰ = 1 (donde a ≠ 0)
Cualquier número (excepto cero) elevado a la potencia de cero es 1. Esto se basa en el concepto de que al disminuir exponencialmente un número (dividir repetidamente por sí mismo), eventualmente llegará a 1.
- Ejemplo: 7⁰ es 1 porque si 7 se divide por sí mismo cualquier número de veces, el resultado final tiende a 1
7⁰
Exponente Negativo
Un exponente negativo indica el recíproco de la base elevada al exponente positivo opuesto. Esto se debe a que elevar un número a un exponente negativo es equivalente a dividir 1 por ese número elevado al exponente positivo.
- Ejemplo: 2⁻³ = 1/2³ significa que en lugar de multiplicar 2 por sí mismo, estamos dividiendo 1 entre 2 multiplicado por sí mismo tres veces.
Expresiones algebraicas con radicales
Las expresiones algebraicas con radicales involucran el uso de raíces, como la raíz cuadrada, raíz cúbica, etc. Además, existe una relación directa entre radicales y exponentes, ya que ambas operaciones son inversas una de la otra. Los conceptos basicos de los radicales son:
- Radical: Es el signo que indica la raíz, por ejemplo √, para la raíz cuadrada.
- Índice del Radical: Es el número que indica el tipo de raíz. Si no se muestra un número, se asume que es 2 (raíz cuadrada). Para raíces cúbicas, se usa el índice 3, y así sucesivamente.
- Raiz cuadrada: √
- Raiz cubica: ³√
- Radicando: Es el número o expresión dentro del signo radical (√Radicando)
Conversión de Exponentes a Radicales
Propiedades de los Radicales
Producto de Radicales
Dos o más radicales con el mismo índice pueden ser multiplicados juntando los radicandos bajo un solo radical. Esto se debe a que la operación de raíz se aplica a todo el producto dentro del radical.
- Ejemplo:
Cociente de Radicales
Similar al producto, el cociente de dos radicales con el mismo índice se puede expresar como un solo radical que contiene el cociente de los radicandos.
- Ejemplo:
Simplificación de Radicales Anidados
- Explicación: Un radical dentro de otro radical puede simplificarse multiplicando los índices de los radicales.
- Ejemplo:
Racionalización de Denominadores
La racionalización de denominadores es un proceso utilizado para eliminar radicales del denominador de una fracción. Esto se logra multiplicando el numerador y el denominador por una expresión que haga que el radical en el denominador se convierta en un número racional.
Proceso de Racionalización
Notación científica
La notación científica es una forma de escribir números que son demasiado grandes o pequeños para ser convenientemente escritos en forma decimal. Esta notación es muy útil en ciencia para manejar una amplia gama de valores, desde extremadamente grandes, como la distancia entre estrellas, hasta muy pequeños, como el tamaño de los átomos. Es imprencindible este tema para el EXANI-II puesto que en este se nos pueden presentar los resultados en notacion cientifica.
La notación científica expresa números como un producto de dos factores:
- Un número decimal entre 1 y 10.
- Una potencia de 10.
La forma general de la notación científica es: ax10ⁿ donde a es un número entre 1 y 10, y n es un entero.
Pasos para Convertir a Notación Científica
- Para Números Grandes:
- Mover el Punto Decimal: Mueva el punto decimal hacia la izquierda hasta que solo quede un dígito no cero a su izquierda.
- Contar los Pasos: El número de pasos que se mueve el punto decimal se convierte en el exponente n de 10ⁿ.
- Formar la Expresión: El número resultante se multiplica por 10 elevado a n.
Ejemplo: Convertir 123000. a notación científica: Mover el punto decimal 5 lugares a la izquierda: 1.23000. El número se convierte en 1.23×10⁵.
- Para Números Pequeños:
- Mover el Punto Decimal: Mueva el punto decimal hacia la derecha hasta que solo quede un dígito no cero a su izquierda.
- Contar los Pasos: El número de pasos que se mueve el punto decimal se convierte en el exponente negativo n de 10ⁿ.
- Formar la Expresión: El número resultante se multiplica por 10 elevado a −n.
Ejemplo: Convertir 0.000456 a notación científica: Mover el punto decimal 4 lugares a la derecha: 4564.56. El número se convierte en 4.56×10⁻⁴.
Ejercicios EXANI-II
Ejemplo 1 (Ejercicio tomado del simulador EXANI-II):
Si la velocidad de un meteorito es de 6×10⁷m/s, la distancia entre dos planetas es de 6.432 x 10¹³ m y la fórmula del tiempo es distancia sobre velocidad, identifique, en segundos, el tiempo que le toma al meteorito viajar de un planeta a otro.
- 1.072 x 10⁻⁶
- 1.072 x 10⁶
- 1.072 x 10²⁰
Resolución
Para calcular el tiempo que le toma al meteorito viajar de un planeta a otro, se usa la fórmula del tiempo t=vd, donde d es la distancia y v es la velocidad. Vamos a hacer este cálculo:
Dada la velocidad v= 6×10⁷ m/s y la distancia d=6.432×10¹³, el tiempo t es:
Primero dividimos los coeficientes:
Luego restamos los exponentes de las potencias de 10:
Combinando el coeficiente y la potencia de 10, obtenemos:
Por lo tanto, el tiempo que le toma al meteorito viajar de un planeta a otro es de 1.072 x 10⁶ segundos, que es la opción correcta.
Ejemplo 2 (Ejercicio tomado del simulador EXANI-II):
Identifique la representación en lenguaje común correspondiente a la siguiente expresión matemática.
- Raíz cuarta de siete elevado al cubo
- Tercera parte de siete elevado a la cuarta potencia
- Raíz cúbica de siete elevado a la cuarta potencia
Resolución
La expresión matemática se interpreta de la siguiente manera en lenguaje común:
- El numerador de la fracción (4) indica la potencia a la que se eleva el número base (7).
- El denominador de la fracción (3) indica la raíz que se debe extraer.
Por lo tanto, la expresión se lee como:
Raíz cúbica de siete elevado a la cuarta potencia.
Ejemplo 3 (Ejercicio tomado del EXANI-II):
Identifique la expresión aritmética que corresponde al siguiente planteamiento.
La cuarta potencia de cinco octavos elevado a la tres.
Resolución
Para encontrar la expresión aritmética que corresponde al planteamiento “La cuarta potencia de cinco octavos elevado a la tres”, hay que tener en cuenta el orden en que se aplican las potencias según la jerarquía de las operaciones.
La frase indica que primero debemos tomar la fracción cinco octavos (), luego elevar esa fracción a la tercera potencia, y finalmente tomar el resultado y elevarlo a la cuarta potencia.
Por lo tanto, la expresión correcta es:
Esta expresión primero eleva la fracción 5/8 a la tercera potencia y luego el resultado de esa operación se eleva a la cuarta potencia, que es exactamente lo que el planteamiento describe.
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