Ley de los signos
Las leyes de los signos son reglas fundamentales en matemáticas que determinan cómo interactúan los números positivos y negativos en operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división. Comprender estas leyes es esencial para resolver ecuaciones y problemas matemáticos de manera eficiente y precisa.
Suma y Resta
Suma de Signos Iguales
- Regla: Al sumar dos números con el mismo signo, se suman los valores absolutos y se mantiene el signo común.
- Ejemplo:
(+3)+(+5)=+8
(−4)+(−2)=−6
Suma de Signos Opuestos
- Regla: Al sumar dos números con signos opuestos, se resta el valor absoluto menor del mayor y se toma el signo del número con mayor valor absoluto.
- Ejemplo:
(+5)+(−3)=+2
(−7)+(+4)=−3
Resta
- Conversión a Suma: La resta se puede convertir en suma cambiando el signo del sustraendo (el número que se resta) y aplicando las reglas de suma.
- Ejemplo:
6−(−3) se convierte en 6+(+3)=9
Multiplicación y División
Signos Iguales
- Regla: El producto o cociente de dos números con el mismo signo es siempre positivo.
- Ejemplo Multiplicación:
(+3)×(+4)=+12
- Ejemplo División:
(−6)÷(−2)=+3
Signos Opuestos
- Regla: El producto o cociente de dos números con signos opuestos es siempre negativo.
- Ejemplo Multiplicación:
(+5)×(−2)=−10
- Ejemplo División:
(−8)÷(+4)=−2
Signos de agrupación
Comprender la jerarquía de los signos de agrupación es esencial en matemáticas para asegurar la precisión en la resolución de ecuaciones y expresiones. Estos signos, que abarcan paréntesis, corchetes y llaves, establecen un orden claro para ejecutar operaciones matemáticas. Su uso adecuado es crucial para evitar errores y es un pilar fundamental en el estudio y aplicación de conceptos matemáticos, tanto en niveles básicos como avanzados.
Jerarquía de los Signos de Agrupación
- Paréntesis ( ): Son el primer nivel de agrupación. Indican las operaciones que se deben realizar primero.
- Ejemplo: En 4×(5−2), la operación dentro de los paréntesis se realiza antes de la multiplicación.
- Corchetes [ ]: Representan el segundo nivel de agrupación. Se utilizan para agrupar expresiones que ya contienen paréntesis.
- Ejemplo: En 3+[2×(4+6)], primero se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis, seguidas de las que están dentro de los corchetes.
- Llaves { } Son el tercer nivel de agrupación. Se usan para agrupar expresiones que contienen tanto paréntesis como corchetes.
- Ejemplo: En 1+[3×(2+4)], se sigue la jerarquía de paréntesis, luego corchetes y finalmente llaves.
Cuando una expresión contiene varios tipos de signos de agrupación, se sigue un orden específico: primero se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis, luego las de los corchetes, y finalmente las de las llaves. Esto se combina con la regla general de realizar primero las multiplicaciones y divisiones, y luego las sumas y restas, a menos que los signos de agrupación indiquen lo contrario.
Ejemplo: Consideremos la siguiente expresión matemática:
8+{4x[6-(3+2)]}
En esta expresión:
- Paréntesis ( ): Primero, se resuelve la operación dentro de los paréntesis: (3+2), lo que resulta en 5.
8+{4x[6-(5)]}
- Corchetes [ ]: A continuación, se resuelven las operaciones dentro de los corchetes. Ahora tenemos [6−5], que da como resultado 1.
8+{4x[1]}
- Llaves { }: Después, se procede con la operación dentro de las llaves, que ahora es {4×1}, sumando 4.
8+{4}
- Operación Exterior: Finalmente, se suma este resultado al número fuera de las llaves: 8+48+4, obteniendo un total de 12.
12
Este proceso ilustra cómo la jerarquía de los signos de agrupación dirige sistemáticamente el orden en que se realizan las operaciones, garantizando así resultados exactos y coherentes.
Ejercicios EXANI-II
Ejemplo 1 (Ejercicio tomado del Simulador del EXANI-II):
Identifique la expresión matemática que utilice correctamente los símbolos de agrupación.
- 3 – (7 + [4(5 – 9) – 3(-5)])
- 3 – {7 + [4(5 – 9) – 3(-5)}
- 3 – {7[4(5 – 9) – 3(-5)]}
Resolución
Para identificar la expresión matemática que utiliza correctamente los símbolos de agrupación, es importante verificar que cada tipo de símbolo de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) esté correctamente emparejado y en el orden adecuado. Los paréntesis se utilizan para las operaciones más internas, seguidos por los corchetes para operaciones intermedias, y las llaves para las más externas. Vamos a analizar cada una de las expresiones dadas:
a) 3 – (7 + [4(5 – 9) – 3(-5)])
- Paréntesis: (5 – 9) y (-5) están correctamente emparejados.
- Corchetes: [4(5 – 9) – 3(-5)] también están correctamente emparejados.
- No hay llaves en esta expresión.
Esta expresión utiliza correctamente los paréntesis y corchetes, pero no incluye llaves.
b) 3 – {7 + [4(5 – 9) – 3(-5)}
- Paréntesis: (5 – 9) y (-5) están correctamente emparejados.
- Corchetes: [4(5 – 9) – 3(-5)] están correctamente emparejados.
- Llaves: {7 + [4(5 – 9) – 3(-5)} aquí hay un problema, ya que la llave de apertura { no tiene su correspondiente llave de cierre }.
Esta expresión no utiliza correctamente los símbolos de agrupación debido a las llaves desemparejadas.
c) 3 – {7[4(5 – 9) – 3(-5)]}
- Paréntesis: (5 – 9) y (-5) están correctamente emparejados.
- Corchetes: [4(5 – 9) – 3(-5)] también están correctamente emparejados.
- Llaves: {7[4(5 – 9) – 3(-5)]} están correctamente emparejadas.
Esta expresión utiliza paréntesis para las operaciones más internas, corchetes para las intermedias, y llaves para la operación más externa. Dado que la tercera opción cumple con el uso correcto de los tres tipos de símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves), y cada uno de ellos está correctamente emparejado y ordenado de acuerdo con su jerarquía, podemos concluir que la opción 3 es la expresión matemática que utiliza correctamente los símbolos de agrupación.
Ejemplo 2 (Ejercicio tomado del simulador EXANI-II):
Identifique la situación en la que se aplica la ley de los signos que corresponde al producto de un número negativo por uno positivo.
- Una persona tiene un capital invertido de $5,000 en un negocio y a los 2 meses pierde $1,200
- La temperatura de una ciudad es de 6 °C bajo cero y durante la madrugada desciende el doble
- Un empleado tiene una deuda de $7,500 y en 3 meses la incrementa $3,000
Resolución
La ley de los signos para el producto indica que cuando multiplicamos un número negativo por uno positivo, el resultado es negativo. Vamos a analizar cada situación para ver cuál se ajusta a esta regla:
a) Una persona tiene un capital invertido de $5,000 en un negocio y a los 2 meses pierde $1,200
- Aquí, la pérdida de $1,200 podría interpretarse como un número negativo (-$1,200), pero no hay un número positivo con el que se esté multiplicando directamente en esta situación. La inversión inicial de $5,000 es positiva, pero no hay una multiplicación explícita entre estos dos valores en el contexto de la pérdida.
b) La temperatura de una ciudad es de 6 °C bajo cero y durante la madrugada desciende el doble
- En este caso, la temperatura inicial de -6 °C (un número negativo) se multiplica por 2 (un número positivo). Al multiplicar -6 °C por 2, el resultado es -12 °C, lo cual es coherente con la ley de los signos para el producto de un número negativo y un número positivo.
c) Un empleado tiene una deuda de $7,500 y en 3 meses la incrementa $3,000
- Similar al primer caso, la deuda inicial puede considerarse un número negativo (-$7,500), pero el incremento de la deuda en $3,000 no implica una multiplicación entre un número negativo y un número positivo. Más bien, es una adición de dos cantidades negativas.
Por lo tanto, la situación que mejor representa la aplicación de la ley de los signos en el producto de un número negativo por uno positivo es la opción b) La temperatura de una ciudad es de 6 °C bajo cero y durante la madrugada desciende el doble.
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