Comprensión de lo Matemático para el EXANI-II

La comprensión de lo matemático, se centra en comprender y aplicar conceptos fundamentales como el sentido numérico, las operaciones aritméticas básicas, las propiedades del cero, la ley de los signos y la jerarquía de operaciones. Esta comprensión de lo matemático no solo facilita la resolución de problemas cotidianos, sino que también es crucial para lograr un buen desempeño en exámenes estandarizados como el EXANI-II. Al abordar el EXANI-II, te enfrentaras al desafío de aplicar tu pensamiento matemático en una variedad de contextos, desde el análisis de diferentes categorías de números, como naturales, enteros, racionales e irracionales, hasta la ejecución eficiente de operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división. La habilidad para comprender y manipular estos conceptos matemáticos básicos es esencial para lograr una buena puntuación en el examen de admisión EXANI-II.

Sentido numérico

Los números se clasifican en diferentes categorías basadas en sus propiedades y usos. Los números naturales (1, 2, 3, …) son los más básicos, utilizados para contar. Los enteros incluyen a los naturales, sus opuestos negativos, y el cero. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como fracciones de enteros, mientras que los irracionales no pueden. Los números reales incluyen tanto racionales como irracionales.

Algo que te ayudara a obtener muchos puntos en tu EXANI-II es entender cómo comparar y ordenar números. Esto incluye saber cuál es mayor o menor, así como la habilidad de redondear números para simplificar cálculos. Por ejemplo, en el examen se te pueden presentar resultados redondeados y no exactos por lo que si estas seguro de tu procedimiento siempre toma la opcion que mas se aproxime a tu resultado.

Operaciones Aritméticas Básicas

Avanzando hacia las operaciones aritméticas básicas, es esencial dominar la suma, la resta, la multiplicación y la división. Cada una tiene propiedades únicas que facilitan el cálculo y la resolución de problemas. Por ejemplo, la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma permite descomponer problemas complejos en partes más manejables.

Suma

La suma es una de las operaciones fundamentales de las matemáticas, usada para combinar dos o más números o cantidades. Las propiedades de la suma incluyen:

• Conmutativa: El orden de los sumandos no afecta el resultado. Es decir, a+b=b+a.
  • Asociativa: Cuando se suman tres o más números, la forma en que se agrupan no afecta el resultado. Por ejemplo, (a+b)+c=a+(b+c).
  • Elemento Neutro: El número cero actúa como el elemento neutro en la suma, ya que cualquier número sumado a cero da como resultado el mismo número.
  • Inverso Aditivo: Para cada número a, existe un inverso aditivo (o opuesto) −a tal que a+(−a)=0.

Resta

La resta es esencialmente la operación inversa de la suma. Se utiliza para determinar la diferencia entre dos números. La resta se puede entender como la suma del opuesto:

• Por ejemplo, a−b es lo mismo que a+(−b). La resta no es conmutativa ni asociativa como la suma.

Multiplicación

La multiplicación es una forma avanzada de suma repetida. Es eficiente y ampliamente utilizada en varios campos. Sus propiedades incluyen:

• Conmutativa: El orden de los factores no cambia el producto, es decir, a×b=b×a.
  • Asociativa: La forma en que se agrupan los factores no afecta el producto, por ejemplo, (a×b)×c=a×(b×c).
  • Elemento Neutro: El número uno es el elemento neutro en la multiplicación, ya que cualquier número multiplicado por uno da como resultado el mismo número.
  • Distributiva de la Multiplicación sobre la Suma: Esta propiedad es fundamental y establece que a×(b+c)=a×b+a×c.

División

La división es la operación de repartir o dividir un número en partes iguales. Es el inverso de la multiplicación.

• Interpretación: Se interpreta como “cuántas veces contiene un número a otro”, por ejemplo, en a÷b, cuántas veces el número b está contenido en a.
  • Elemento Neutro: Al igual que en la multiplicación, el 1 es importante en la división, ya que cualquier número dividido por 1 es igual a sí mismo.
  • Propiedades: A diferencia de la suma y la multiplicación, la división no es ni conmutativa ni asociativa. También, no se puede dividir por cero.

Propiedades del 0

El número cero es único en matemáticas, representando la ausencia de cantidad. Tiene propiedades especiales en las operaciones aritméticas:

• En la suma, a+0=a. El cero actúa como elemento neutro, no alterando el valor del otro sumando.
• En la resta, a−0=a y 0−a=−a. Restar cero a un número lo deja sin cambio, mientras que restar un número de cero da su opuesto negativo.
• En la multiplicación, a×0=0. Cualquier número multiplicado por cero resulta en cero, destacando su papel como elemento anulador.
• En la división, 0÷a=0 para cualquier a no cero. Sin embargo, la división de cualquier número por cero no está definida, ya que no existe un número que multiplicado por cero dé cualquier número distinto de cero.

Ley de los signos

Las leyes de los signos son reglas fundamentales en matemáticas que determinan cómo interactúan los números positivos y negativos en operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división. Comprender estas leyes es esencial para resolver ecuaciones y problemas matemáticos de manera eficiente y precisa.

Suma y Resta

Suma de Signos Iguales

• Regla: Al sumar dos números con el mismo signo, se suman los valores absolutos y se mantiene el signo común.
• Ejemplo:

(+3)+(+5)=+8

(−4)+(−2)=−6

Suma de Signos Opuestos

• Regla: Al sumar dos números con signos opuestos, se resta el valor absoluto menor del mayor y se toma el signo del número con mayor valor absoluto.
• Ejemplo:

(+5)+(−3)=+2

(−7)+(+4)=−3

Resta

• Conversión a Suma: La resta se puede convertir en suma cambiando el signo del sustraendo (el número que se resta) y aplicando las reglas de suma.
• Ejemplo:

6−(−3) se convierte en 6+(+3)=9

Multiplicación y División

Signos Iguales

• Regla: El producto o cociente de dos números con el mismo signo es siempre positivo.
• Ejemplo Multiplicación:

(+3)×(+4)=+12

• Ejemplo División:

(−6)÷(−2)=+3

Signos Opuestos

• Regla: El producto o cociente de dos números con signos opuestos es siempre negativo.
• Ejemplo Multiplicación:

(+5)×(−2)=−10

• Ejemplo División:

(−8)÷(+4)=−2

Jerarquía de Operaciones Básicas

La jerarquía de operaciones es un conjunto de reglas que definen el orden en el que se deben realizar las operaciones matemáticas en una expresión. Estas reglas son fundamentales para resolver correctamente problemas matemáticos en tu EXANI-II y para garantizar que todos lleguen al mismo resultado al realizar los mismos cálculos.

1. Paréntesis y Agrupaciones: Lo primero que se debe realizar en cualquier expresión matemática son las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis o cualquier otra forma de agrupación, como corchetes o llaves. Si hay múltiples conjuntos de paréntesis, comience por el más interno y avance hacia afuera.
2. Exponentes y Raíces: Una vez resueltas las operaciones dentro de los paréntesis, el siguiente paso es realizar las operaciones de exponentes y raíces. Esto incluye cuadrados, cubos, raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc.
3. Multiplicación y División: Después de los exponentes, sigue la multiplicación y la división. Estas operaciones se realizan de izquierda a derecha. Es crucial recordar que no hay una prioridad entre multiplicación y división; se realizan en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.
4. Suma y Resta: Finalmente, realiza las operaciones de suma y resta, también en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.

Ejemplos :

En la expresión:

7 + 3 x (8-3)²

Primero resolvemos lo que está dentro del paréntesis: 8−3.

7 + 3 x (5)²

Luego elevamos al cuadrado el resultado.

7 + 3 x 25

Multiplicamos por 3.

7 + 75

Y finalmente sumamos 7.

82

En la expresión:

Primero resolvemos el exponente 4²:

Luego dividimos por 2

8 x 3

Finalmente multiplicamos por 3.

24

(PEMDAS):

Este acrónimo ayuda a recordar el orden en el que se deben realizar las operaciones matemáticas: Paréntesis, Exponentes, Multiplicación y División (de izquierda a derecha), y Suma y Resta (de izquierda a derecha).

Signos de agrupación

Comprender la jerarquía de los signos de agrupación es esencial en matemáticas para asegurar la precisión en la resolución de ecuaciones y expresiones. Estos signos, que abarcan paréntesis, corchetes y llaves, establecen un orden claro para ejecutar operaciones matemáticas. Su uso adecuado es crucial para evitar errores y es un pilar fundamental en el estudio y aplicación de conceptos matemáticos, tanto en niveles básicos como avanzados.

Jerarquía de los Signos de Agrupación

1. Paréntesis ( ): Son el primer nivel de agrupación. Indican las operaciones que se deben realizar primero.
   • Ejemplo: En 4×(5−2), la operación dentro de los paréntesis se realiza antes de la multiplicación.
2. Corchetes [ ]: Representan el segundo nivel de agrupación. Se utilizan para agrupar expresiones que ya contienen paréntesis.
   • Ejemplo: En 3+[2×(4+6)], primero se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis, seguidas de las que están dentro de los corchetes.
3. Llaves { } Son el tercer nivel de agrupación. Se usan para agrupar expresiones que contienen tanto paréntesis como corchetes.
   • Ejemplo: En 1+[3×(2+4)], se sigue la jerarquía de paréntesis, luego corchetes y finalmente llaves.

Cuando una expresión contiene varios tipos de signos de agrupación, se sigue un orden específico: primero se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis, luego las de los corchetes, y finalmente las de las llaves. Esto se combina con la regla general de realizar primero las multiplicaciones y divisiones, y luego las sumas y restas, a menos que los signos de agrupación indiquen lo contrario.

Ejemplo: Consideremos la siguiente expresión matemática:

8+{4 x [6 – (3 + 2)]}

En esta expresión:

1. Paréntesis ( ): Primero, se resuelve la operación dentro de los paréntesis: (3+2), lo que resulta en 5.

8+{4 x [6 – (5)]}

2. Corchetes [ ]: A continuación, se resuelven las operaciones dentro de los corchetes. Ahora tenemos [6−5], que da como resultado 1.

8+{4 x [1]}

3. Llaves { }: Después, se procede con la operación dentro de las llaves, que ahora es {4×1}, sumando 4.

8+{4}

4. Operación Exterior: Finalmente, se suma este resultado al número fuera de las llaves: 8+48+4, obteniendo un total de 12.

12

Este proceso ilustra cómo la jerarquía de los signos de agrupación dirige sistemáticamente el orden en que se realizan las operaciones, garantizando así resultados exactos y coherentes.

Vídeo Resumen

Preguntas EXANI-II

Pregunta 1 (Ejercicio tomado del Simulador EXANI-II):

Complete la oración con el valor faltante.

Un árbol frutal crece en promedio _______ por año. Si el árbol mide 6.3 m, significa que actualmente tiene 10.5 años.

a) 0.60 cm
b) 1.66 cm
c) 0.60 m

Explicación:

Respuesta correcta a) 0.60 m. Explicación: La pregunta implica una relación directa entre la altura del árbol y su edad. Dado que el árbol mide 6.3 metros y tiene 10.5 años, para encontrar el crecimiento promedio anual, dividimos la altura por la edad. Calculando 6.3 m/10.5 años ​ obtenemos aproximadamente 0.60 metros. Esto indica que el árbol crece en promedio 0.60 metros por año.

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Pregunta 2 (Ejercicio tomado del Simulador EXANI-II):

Identifique la expresión matemática que utilice correctamente los símbolos de agrupación.

a) 3 – (7 + [4(5 – 9) – 3(-5)])
b) 3 – {7 + [4(5 – 9) – 3(-5)}
c) 3 – {7[4(5 – 9) – 3(-5)]}

Explicación:

Para identificar la expresión matemática que utiliza correctamente los símbolos de agrupación, es importante verificar que cada tipo de símbolo de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) esté correctamente emparejado y en el orden adecuado. Los paréntesis se utilizan para las operaciones más internas, seguidos por los corchetes para operaciones intermedias, y las llaves para las más externas. Vamos a analizar cada una de las expresiones dadas:

a) 3 – (7 + [4(5 – 9) – 3(-5)])

• Paréntesis: (5 – 9) y (-5) están correctamente emparejados.
  • Corchetes: [4(5 – 9) – 3(-5)] también están correctamente emparejados.
  • No hay llaves en esta expresión.

Esta expresión utiliza correctamente los paréntesis y corchetes, pero no incluye llaves.

b) 3 – {7 + [4(5 – 9) – 3(-5)}

• Paréntesis: (5 – 9) y (-5) están correctamente emparejados.
  • Corchetes: [4(5 – 9) – 3(-5)] están correctamente emparejados.
  • Llaves: {7 + [4(5 – 9) – 3(-5)} aquí hay un problema, ya que la llave de apertura { no tiene su correspondiente llave de cierre }.

Esta expresión no utiliza correctamente los símbolos de agrupación debido a las llaves desemparejadas.

c) 3 – {7[4(5 – 9) – 3(-5)]}

• Paréntesis: (5 – 9) y (-5) están correctamente emparejados.
  • Corchetes: [4(5 – 9) – 3(-5)] también están correctamente emparejados.
  • Llaves: {7[4(5 – 9) – 3(-5)]} están correctamente emparejadas.

Esta expresión utiliza paréntesis para las operaciones más internas, corchetes para las intermedias, y llaves para la operación más externa. Dado que la tercera opción cumple con el uso correcto de los tres tipos de símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves), y cada uno de ellos está correctamente emparejado y ordenado de acuerdo con su jerarquía, podemos concluir que la opción 3 es la expresión matemática que utiliza correctamente los símbolos de agrupación.

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