Proporcionalidad directa e inversa en el ámbito financiero.
La proporcionalidad es un concepto clave en matemáticas financieras, que describe la relación entre dos o más cantidades. En el ámbito financiero, la comprensión de la proporcionalidad directa e inversa es esencial para analizar y predecir cómo los cambios en una variable pueden afectar a otras.
Proporciones
Una proporción indica que dos razones son iguales. Se representa como ba=dc o a:b::c:d, lo que se lee como “a es a b como c es a d”. En una proporción, el producto de los medios (b y c) es igual al producto de los extremos (a y d).
Propiedades de las Proporciones
- Producto de Medios y Extremos: En la proporción ba=dc, se cumple que a*d=b*c
- Inversión: Si ba=dc, entonces ab=cd.
- Alternación: Se puede cambiar el orden de los términos, ba=dc es lo mismo que ca=db.
- Composición y División: Se pueden sumar o restar los términos correspondientes de las fracciones equivalentes.
Tipos de Proporciones
Proporciones Directas
Si una cantidad aumenta, la otra también lo hace en la misma proporción. Por ejemplo:
Supongamos que estamos pintando una pared y queremos saber cuánta pintura necesitamos en función del área de la pared. Sabemos que 1 litro de pintura cubre 5 metros cuadrados.¿Cuánta pintura necesitamos para una pared de 20 metros cuadrados?
Solución:
Razón dada: 1 litro por cada 5 metros cuadrados.
Área de la pared: 20 metros cuadrados.
La relación es directa: A más área, más pintura.
Calculamos la cantidad de pintura: 1 litro/5m² = x litros/20m²
Resolviendo para x con regla de 3 y obtenemos x= 20/5 = 4 litros. Entonces necesitamos 4 litros de pintura para cubrir una pared de 20 metros cuadrados.
Ejemplos en Matematicas Financieras que pueden venir en tu EXANI-II:
- Intereses Simples: El monto de interés ganado en una inversión es directamente proporcional al capital invertido y al tiempo. Si el capital o el tiempo aumentan, los intereses también lo hacen.
- Crecimiento de Ingresos y Gastos: En una empresa, si las ventas aumentan proporcionalmente, los ingresos también lo hacen. Lo mismo ocurre con los costos variables y la producción.
Proporciones Inversas
Si una cantidad aumenta, la otra disminuye en la misma proporción. Por ejemplo:
Imaginemos que estamos llenando un tanque de agua y queremos saber cómo el tiempo de llenado depende del número de mangueras usadas. Sabemos que 1 manguera llena el tanque en 4 horas. ¿Cuánto tiempo tomará llenar el tanque si usamos 2 mangueras?
Solución:
Razón dada: 1 manguera en 4 horas.
Número de mangueras: 2.
La relación es inversa: A más mangueras, menos tiempo.
Establecemos la proporción:
Resolviendo para x con regla de 3 inversa:
Entonces usando 2 mangueras, el tanque se llenará en 2 horas.
Ejemplos en Matematicas Financieras que pueden venir en tu EXANI-II:
- Fijación de Precios: Si el precio de un producto aumenta, la cantidad demandada puede disminuir. En un modelo de demanda elástica, esta relación es inversamente proporcional.
- Rendimiento de Bonos y Tasas de Interés: En el mercado de bonos, cuando las tasas de interés aumentan, el precio de los bonos existentes generalmente disminuye, y viceversa.
Cantidad inicial y final, incremento y decremento
Cantidad Inicial y Final
En matemáticas financieras, las nociones de cantidad inicial y final son fundamentales para el análisis y la evaluación de operaciones financieras.
- Cantidad Inicial: Es el valor con el que se inicia una operación o período. En finanzas, podría ser el capital original en una inversión, el saldo inicial de una cuenta, o el precio inicial de un bien o servicio.
- Cantidad Final: Representa el valor al término de un período o después de una operación. En el contexto financiero, esto podría ser el saldo final en una cuenta, el valor de una inversión después de un período determinado, o el precio final de un bien tras aplicar descuentos o incrementos.
Ejemplo EXANI-II
Ejemplo 1: Inversión con Retiro Parcial – Una persona invierte $50,000 en una cuenta de ahorros. Al cabo de 6 meses, retira $15,000. Al final del año, el saldo es de $40,000.¿Cuánto es el incremento o decremento en la inversión al final del año?
- Resolución:
- Cantidad inicial: $50,000.
- Retiro: $15,000, por lo que la inversión se reduce a $50,000 – $15,000 = $35,000.
- Cantidad final: $40,000.
- Cambio en la inversión: $40,000 (final) – $35,000 (ajustada post retiro) = $5,000 de incremento.
Ejemplo 2: Amortización de Préstamo – Un préstamo de $100,000 se amortiza en 10 pagos mensuales iguales. Al finalizar el quinto mes, el saldo insoluto es de $60,000. ¿Cuál es el monto de cada pago mensual?
- Resolución:
- Cantidad inicial del préstamo: $100,000.
- Saldo después de 5 meses: $60,000.
- Monto amortizado en 5 meses: $100,000 (inicial) – $60,000 (final) = $40,000.
- Pago mensual: $40,000 / 5 meses = $8,000 por mes.
Ejemplo 3: Depreciación de Activo con Valor Residual – Una máquina se compra por $25,000 y se espera que tenga un valor residual de $5,000 después de 5 años.¿Cuál es la depreciación anual de la máquina?
- Resolución:
- Cantidad inicial (costo de la máquina): $25,000.
- Valor residual después de 5 años: $5,000.
- Depreciación total: $25,000 – $5,000 = $20,000.
- Depreciación anual: $20,000 / 5 años = $4,000 por año.
Incremento y Decremento
El análisis de incremento y decremento es fundamental en matemáticas financieras para evaluar los cambios en valores a lo largo del tiempo. Definamos cada concepto.
- Incremento: Refiere al aumento en el valor de una cantidad o variable. En finanzas, puede representar el crecimiento en el valor de una inversión, aumento de ingresos, o apreciación de activos.
- Decremento: Es la disminución en el valor de una cantidad. En el contexto financiero, implica reducción de capital, decremento en ventas, depreciación de activos, entre otros.
Cálculo de Incremento y Decremento
Para calcular el incremento o decremento, se utiliza la fórmula:
Si el resultado es positivo, representa un incremento; si es negativo, indica un decremento.
Ejemplos EXANI-II
Ejemplo 1: Incremento en Valor de Acciones – Se compran acciones por $1,000. Al cabo de un año, su valor es de $1,200.¿Cuál es el incremento en el valor de las acciones?
- Resolución:
- Cantidad inicial: $1,000.
- Cantidad final: $1,200.
- Incremento: $1,200 – $1,000 = $200.
El valor de las acciones incrementó en $200.
Ejemplo 2: Decremento en Valor de un Vehículo – Un vehículo se compra por $20,000. Después de 3 años, su valor se reduce a $12,000.¿Cuál es el decremento en el valor del vehículo?
- Resolución:
- Cantidad inicial: $20,000.
- Cantidad final: $12,000.
- Decremento: $12,000 – $20,000 = -$8,000.
El valor del vehículo disminuyó en $8,000.
Ejemplo 3: Decremento en Saldo de Préstamo – Se obtiene un préstamo de $15,000. Después de realizar pagos mensuales, el saldo es de $10,000.¿Cuánto ha disminuido el saldo del préstamo?
- Resolución:
- Cantidad inicial (préstamo): $15,000.
- Cantidad final (saldo actual): $10,000.
- Decremento: $10,000 – $15,000 = -$5,000.
El saldo del préstamo disminuyó en $5,000.
Ejercicios EXANI-II
Ejemplo 1 (Ejercicio tomado del EXANI-II):
Una línea aérea oferta 320 lugares a un costo de $5,400 para obtener sus gastos. Si sólo vende 180 lugares, ¿a qué costo deberá tener el pasaje para cubrir los gastos?
- $3,037.50
- $8,437.50
- $9,600.00
Resolución
Para resolver este problema, primero debemos entender que los gastos totales de la línea aérea deben ser cubiertos por los ingresos obtenidos de la venta de boletos. Los gastos totales se mantienen constantes, independientemente de cuántos boletos se vendan. El objetivo es encontrar el nuevo precio por boleto cuando solo se venden 180 lugares, para cubrir los mismos gastos totales.
Los datos que tenemos son:
- La línea aérea necesita obtener $5,400 por cada uno de los 320 lugares para cubrir sus gastos.
- El ingreso total necesario para cubrir gastos es entonces 320 * $5,400.
- La línea aérea solo vende 180 lugares.
Ahora, establecemos la igualdad entre los ingresos totales necesarios y los ingresos obtenidos por la venta de 180 boletos a un nuevo precio, que llamaremos P.
El ingreso total necesario es:
El ingreso obtenido por la venta de 180 boletos a precio P es:
Igualamos ambos ingresos:
Ahora resolvemos para P:
Calculamos P:
Por lo tanto, el costo del pasaje por persona deberá ser de $9,600 para cubrir los gastos cuando solo se venden 180 lugares. La respuesta correcta es $9,600.00.
Ejemplo 2 (Ejercicio tomado del EXANI-II):
Para producir 3.5 toneladas de tela se paga un total de $2,450. Si se necesita producir 8 toneladas, ¿cuál es la proporción de la variación que representa los datos proporcionados?
- 3.5 es a 8 como $5,600 a $2,450
- 3.5 es a $2,450 como 8 es a $5,600
- 3.5 es a $5,600 como 8 es a $2,450
Resolución
Para resolver este problema, usaremos la regla de tres simple para encontrar la cantidad de dinero que se necesita para producir 8 toneladas de tela, basándonos en la relación proporcionada: producir 3.5 toneladas de tela cuesta $2,450.
La regla de tres simple se basa en una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes. En este caso, la cantidad de tela y el costo asociado son directamente proporcionales. Esto significa que si se aumenta la cantidad de tela, el costo también aumenta en la misma proporción.
Los datos que tenemos son:
- 3.5 toneladas de tela cuestan $2,450.
- Queremos saber cuánto costará producir 8 toneladas de tela.
Establecemos la relación proporcional:
Donde x es el costo de producir 8 toneladas de tela. Resolvemos para x:
Calculamos x:
Por lo tanto, el costo para producir 8 toneladas de tela es de $5,600. Ahora, para formular la proporción que representa esta relación, usamos los datos de la relación original y los datos obtenidos:
La opción correcta es entonces:
Esto se confirma con la proporcionalidad de la regla de tres que hemos utilizado.
Ejemplo 3 (Ejercicio tomado del EXANI-II):
Calcule el monto actual de la inversión de una persona si al inicio tenía $218,000 y ha utilizado de la misma.
- $87,200
- $130,800
- $305,200
Resolución
Por lo tanto, el monto actual de la inversión, después de utilizar 2/3 de ella, es de $130,800.
Ejemplo 4 (Ejercicio tomado del EXANI-II):
Determine a cuánto asciende la deuda de una persona si el banco le prestó de $900,000, y ahora es
menor que hace 5 meses.
- $150,000
- $450,000
- $1,050,000
Resolución
Para resolver este problema, primero calcularemos el monto original del préstamo del banco a la persona. El banco le prestó 2/3 de $900,000, lo cual se calcula multiplicando $900,000 por 2/3.
El monto original del préstamo era de $600,000.
Ahora, consideremos la reducción de la deuda. La deuda actual es 6/8 (o 3/4 al simplificar) menor que la deuda de hace 5 meses. Esto significa que la deuda actual es solo de la deuda original, ya que:
Finalmente, calculamos la deuda actual multiplicando el monto original del préstamo por :
Por lo tanto, la deuda actual de la persona asciende a $150,000. La respuesta correcta es $150,000.
Ejemplo 5 (Ejercicio tomado del EXANI-II):
¿Qué porcentaje representa el aumento en el precio por litro de gasolina que, al iniciar el año era de $14 y el incremento que se realizó es de $3?
- 0.42%
- 14.17%
- 21.43%
Resolución
Para calcular el porcentaje de aumento en el precio por litro de gasolina, seguimos el procedimiento que mencionas. Se divide el aumento en el precio, que es de $3, entre el precio inicial, que es de $14, y luego se multiplica el resultado por 100% para obtener el porcentaje. La fórmula es la siguiente:
En este caso, el aumento es de $3 y el precio inicial es de $14. Aplicando la fórmula, tenemos:
Por lo tanto, el porcentaje de aumento en el precio por litro de gasolina es del 21.43%.
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