La comprensión y aplicación de conceptos como porcentaje, razones y proporciones son esenciales para un desempeño exitoso en exámenes estandarizados como el EXANI-II, especialmente en la sección de Pensamiento matemático. Al prepararte para este examen de admisión, te encontrarás con problemas que requieren el uso de la regla de tres simple, tanto en su forma directa como inversa, para resolver situaciones que involucran relaciones proporcionales. Además, entender las razones, que se expresan como fracciones, y las proporciones, que indican la igualdad entre dos razones, es fundamental para abordar con éxito las preguntas del examen. Los porcentajes, una forma especial de razón donde el denominador es 100, son particularmente relevantes dentro del EXANI-II.
Dominar estos conceptos te permitirá responder eficientemente a una variedad de preguntas en el examen, desde calcular descuentos y tasas de interés hasta interpretar datos estadísticos. Este conocimiento es crucial para lograr una puntuación alta en el EXANI-II.
Regla de Tres Simple
La regla de tres simple es un método fundamental en matemáticas para resolver problemas que involucran porcentajes, razones y proporciones. La regla de tres se utiliza para determinar un cuarto valor desconocido cuando se conocen tres valores relacionados en dos proporciones equivalentes. Esta regla se aplica en dos variantes: directa e inversa.
Regla de Tres Simple Directa
Esta regla se usa cuando las dos cantidades involucradas son directamente proporcionales. Esto significa que si una aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción, y si una disminuye, la otra también disminuye.
Fórmula:
Donde a y b son cantidades conocidas en una proporción, c es otra cantidad conocida y x es la cantidad desconocida que buscamos.
Ejemplo: Supongamos que 5 kilogramos de manzanas cuestan 20 pesos. ¿Cuánto costarán 8 kilogramos de manzanas?
Aquí, establecemos las proporciones: 5 kg de manzanas / 20 pesos = 8 kg de manzanas / x pesos.
Resolviendo para x:
Por lo tanto, 8 kilogramos de manzanas costarán 32 pesos.
Regla de Tres Simple Inversa
Se utiliza cuando las dos cantidades son inversamente proporcionales: si una aumenta, la otra disminuye y viceversa.
Fórmula:
En este caso, la fórmula se ajusta para tomar en cuenta la relación inversa:
Nuevamente, a y b son valores conocidos, c es un valor conocido y x es el valor que buscamos.
Ejemplo: Si 6 trabajadores pueden completar una tarea en 10 horas, ¿cuántas horas tomará si hay 8 trabajadores realizando la misma tarea?
Aquí, la relación es inversa: a más trabajadores, menos horas se necesitan. Establecemos la proporción: 6 trabajadores / 10 horas = 8 trabajadores / x horas.
Resolviendo para x:
Por lo tanto, se necesitarían aproximadamente 13.33 horas para completar la tarea con 8 trabajadores.
› Razones
Una razón se escribe en forma de fracción, a/b, donde a y b son números enteros y b no es cero. Se puede interpretar como “a por cada b” o “a dividido entre b”. Por ejemplo, si hay 2 manzanas y 3 naranjas, la razón de manzanas a naranjas es 2/3.
Antecedente y Consecuente en una Razón
En la razón aritmética a/b, el término a es conocido como el antecedente y b es el consecuente.
- Antecedente (a): Es el primer término de la razón, el numerador en la expresión fraccionaria.
- Consecuente (b): Es el segundo término, el denominador en la expresión fraccionaria.
Propiedades de las Razones
- Comparabilidad: Las razones solo son significativas cuando comparamos cantidades del mismo tipo. Por ejemplo, comparar manzanas con manzanas o naranjas con naranjas.
- Reducción y Amplificación: Una razón se puede simplificar o amplificar multiplicando o dividiendo ambos términos por el mismo número, sin cambiar su valor. Por ejemplo, la razón
es equivalente a 2/3 o a 8/12 después de dividir ambos términos por 2.
- Razones Equivalentes: Dos razones son equivalentes si la fracción que representan es igual. Por ejemplo, 4/6 y 2/3 son equivalentes.
Tipos de Razones
- Razones Particulares: Se refiere a la comparación de dos cantidades distintas. Ejemplo: La razón entre el número de chicos y chicas en una clase.
- Razones de Tasa: Se utilizan para comparar dos cantidades medidas en unidades diferentes, como la velocidad (kilómetros por hora) o la densidad (masa por volumen).
Razones de Proporción: Relacionan dos razones y establecen que dos pares de cantidades son equivalentes. Por ejemplo: Si a/b = c/d , entonces se dice que a:b::c:d (a es a b como c es a d).
› Proporciones
Una proporción indica que dos razones son iguales. Se representa como ba=dc, lo que se lee como “a es a b como c es a d”. En una proporción, el producto de los medios (b y c) es igual al producto de los extremos (a y d).
Propiedades de las Proporciones
- Producto de Medios y Extremos: En la proporción ba=dc, se cumple que a x d = b x c
- Inversión: Si ba=dc, entonces ab=cd.
- Alternación: Se puede cambiar el orden de los términos, ba=dc es lo mismo que ca=db.
- Composición y División: Se pueden sumar o restar los términos correspondientes de las fracciones equivalentes.
Tipos de Proporciones
Proporciones Directas
Si una cantidad aumenta, la otra también lo hace en la misma proporción. Por ejemplo:
Supongamos que estamos pintando una pared y queremos saber cuánta pintura necesitamos en función del área de la pared. Sabemos que 1 litro de pintura cubre 5 metros cuadrados.¿Cuánta pintura necesitamos para una pared de 20 metros cuadrados?
Solución:
Razón dada: 1 litro por cada 5 metros cuadrados.
Área de la pared: 20 metros cuadrados.
La relación es directa: A más área, más pintura.
Calculamos la cantidad de pintura:
Resolviendo para x con regla de 3 y obtenemos:
Entonces necesitamos 4 litros de pintura para cubrir una pared de 20 metros cuadrados.
Proporciones Inversas
Si una cantidad aumenta, la otra disminuye en la misma proporción. Por ejemplo:
Imaginemos que estamos llenando un tanque de agua y queremos saber cómo el tiempo de llenado depende del número de mangueras usadas. Sabemos que 1 manguera llena el tanque en 4 horas. ¿Cuánto tiempo tomará llenar el tanque si usamos 2 mangueras?
Solución:
Razón dada: 1 manguera en 4 horas.
Número de mangueras: 2.
La relación es inversa: A más mangueras, menos tiempo.
Establecemos la proporción:
Resolviendo para x con regla de 3 inversa:
Entonces usando 2 mangueras, el tanque se llenará en 2 horas.
› Porcentaje
Un porcentaje es una razón cuyo denominador es 100. Se denota utilizando el símbolo %. Por ejemplo, decir “25%” es lo mismo que decir 25/100 o 0.25.
Cálculo de Porcentajes
Para calcular el porcentaje de una cantidad, se multiplica la cantidad por el porcentaje (expresado como fracción o decimal) y luego se divide entre 100.
Fórmula:
Ejemplos de Preguntas de Porcentajes que puedes encontrar en tu EXANI-II son:
1. Descuentos en Tiendas: Si un artículo cuesta $200 y tiene un descuento del 15%, ¿cuánto se ahorra?
Si un artículo cuesta $200 y tiene un descuento del 15%, el ahorro se calcula obteniendo el 15% de 200.
Por lo tanto, se ahorra $30 en la compra del artículo.
2. Tasas de Interés en Finanzas: Si inviertes $1000 en una cuenta que ofrece un 5% de interés anual, ¿cuánto dinero tendrás al final de un año?
Si inviertes $1000 en una cuenta con un interés del 5% anual, el dinero que tendrás al final de un año se calcula sumando el interés ganado al principal.
Luego, sumas el interés al principal:
Por lo tanto, tendrás $1050 al final de un año.
3. Estadísticas: Si en una encuesta, el 60% de los encuestados prefieren un producto A, y se encuestaron 500 personas, ¿cuántas personas prefieren el producto A?
Si el 60% de los encuestados prefieren un producto A y se encuestaron 500 personas, el número de personas que prefieren el producto A se calcula obteniendo el 60% de 500.
Por lo tanto, 300 personas prefieren el producto A.
Cálculo de un Total Conociendo un Porcentaje (EXANI-II)
El cálculo de un total conociendo un porcentaje es una situación común en la cual conocemos la parte que representa un cierto porcentaje y queremos encontrar el total del cual esa parte proviene. Para hacer esto, usamos la fórmula:
Por ejemplo, Supongamos que sabemos que 250 empleados de una empresa representan el 25% del total de empleados de la empresa. Queremos encontrar el número total de empleados.
Solución:
- Identificamos la “Parte”: que en este caso son los 250 empleados.
- Identificamos el “Porcentaje”: que es el 25%.
- Sustituimos estos valores en la fórmula para encontrar el “Total”.
Aplicamos la fórmula:
El número total de empleados en la empresa es 1000.
Vídeo Resumen
Preguntas EXANI-II
Pregunta 1 (Ejercicio tomado del Simulador EXANI-II):
Silvia va a comprar su uniforme. Una blusa cuesta $171.30, pero le aplicarán 25% de descuento; unos pantalones cuestan $400.25 y le harán 70% de rebaja. Al llegar a la caja para pagar, le comentan que todas las blusas tienen 25% de descuento adicional sobre el precio ya rebajado.
¿Cuál es la cantidad redondeada que Silvia pagará si compra ambas prendas?
a) $206.00
b) $217.00
c) $291.00
Explicación:
Respuesta correcta: b) $217.00. Se realizan cálculos de descuentos sucesivos sobre el precio de la blusa y un descuento único sobre los pantalones. Para la blusa, primero se aplica un 25% de descuento, dando un precio de $128.475. Luego, se aplica otro 25% de descuento sobre este nuevo precio, resultando en $96.35625. Para los pantalones, se aplica un 70% de descuento sobre el precio original, lo que da $120.075. Al sumar los precios finales de ambas prendas, se obtiene $216.43125, que redondeado es igual a $217.00. Este cálculo demuestra una comprensión correcta del manejo de porcentajes y su aplicación en situaciones de descuentos sucesivos.
Pregunta 2
Calcule el precio total que se debe pagar por la compra de dos casas de campaña, cuyo precio de lista es de $55,499.00 cada una, considerando que hay una oferta que indica que al llevar dos, la segunda tiene una rebaja de 15%.
- $94,348.30
- $102,673.15
- $119,322.85
Explicación:
Para resolver este problema, debemos calcular el precio total de la compra de dos casas de campaña, teniendo en cuenta la oferta que indica que al comprar dos, la segunda tiene un descuento del 15%. Vamos a desglosar el cálculo paso a paso:
- Precio de Lista de una Casa de Campaña: Cada casa de campaña tiene un precio de lista de $55,499.00.
- Cálculo del Descuento para la Segunda Casa de Campaña: El descuento aplicado a la segunda casa de campaña es del 15%. Para calcular el valor del descuento, multiplicamos el precio de lista por el porcentaje de descuento: Descuento=$55,499.00 x 15%
- Calculamos el 15% de $55,499.00: 0.15 x $55,499.00 = $8,324.85
- Precio de la Segunda Casa de Campaña con Descuento: Ahora, restamos el descuento del precio de lista de la segunda casa de campaña:
- Cálculo del Precio Total de las Dos Casas de Campaña: El precio total es la suma del precio de lista de la primera casa de campaña más el precio con descuento de la segunda:
Sumamos los valores:
Por lo tanto, el precio total que se debe pagar por la compra de dos casas de campaña, considerando el descuento del 15% en la segunda, es de $102,673.15.
Pregunta 3
Obtenga el monto de la rebaja en la compra de 1 computadora con precio inicial de $38,000.00 y que se ofrece en tienda con un 15%.
- $2,533.33
- $5,700.00
- $32,300.00
Explicación:
Para encontrar el monto de la rebaja en la compra de una computadora que tiene un precio inicial de $38,000.00 y se ofrece con un descuento del 15%, debemos seguir estos pasos:
- Convertir el porcentaje de descuento a su forma decimal: Para esto, dividimos el porcentaje de descuento entre 100. En este caso, 15% se convierte en 0.15 (15 ÷ 100 = 0.15).
- Calcular el monto del descuento: Multiplicamos el precio inicial de la computadora por el porcentaje de descuento en forma decimal. Entonces, $38,000.00 × 0.15.
- Realizar la multiplicación: Al hacer la operación 38,000 × 0.15 obtenemos el monto del descuento.
Ahora, realicemos la multiplicación para encontrar la respuesta:
38,000 × 0.15 = 5,700
Por lo tanto, el monto de la rebaja en la compra de la computadora es de $5,700.00.
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