El tema Nociones de Probabilidad, especialmente Espacio Muestral y Probabilidad Clásica de Eventos Simples es un componente vital en la sección de Pensamiento Matemático del EXANI-II. Este tema abarca los principios fundamentales de la probabilidad, un área esencial de las matemáticas que se enfoca en analizar y entender cómo se comportan los eventos bajo condiciones de incertidumbre. Al estudiar el espacio muestral, se aprende a identificar y describir todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Por otro lado, la probabilidad clásica de eventos simples nos proporciona las herramientas para calcular la probabilidad de ocurrencia de estos eventos. Este conocimiento no solo es crucial para un buen desempeño en el examen, sino que también forma la base para comprender conceptos más avanzados en matemáticas y otras disciplinas científicas.
¿Qué es la probabilidad?
Probabilidad es una medida que refleja la posibilidad de que ocurra un evento específico. Se expresa como un número entre 0 y 1, donde 0 indica imposibilidad y 1 certeza absoluta. Algunas definiciones que debemos conocer antes de hablar del tema son:
- Experimento aleatorio: Es un proceso que produce resultados inciertos, como lanzar un dado o seleccionar una carta de una baraja.
- Espacio muestral (S): Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Por ejemplo, al lanzar un dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Evento: Cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, obtener un número par al lanzar un dado es un evento, E = {2, 4, 6}.
Existen diferentes tipos de probabilidades como la probabilidad Clásica que se usa cuando todos los resultados en el espacio muestral son igualmente probables. La fórmula es P(E) = número de resultados en E / número total de resultados en S., la probabilidad empirica o frecuentista que se vasa en experimentos u observaciones de eventos, por ejemplo, si lanzamos un dado 100 veces y el número 3 aparece 17 veces, la probabilidad empírica de obtener un 3 es 17/100 o la probabilidad subjetiva que se basa en la creencia personal de cada persona sobre la ocurrencia de un evento. Pero aquí hablaremos de lo que nos compete para el EXANI-II, la probabilidad clasica.
Principios Básicos de Probabilidad
- Principio de Aditividad: Si dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A o B es P(A) + P(B).
- Probabilidad Condicional: P(A|B) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que B ya ha ocurrido. Se calcula como P(A y B) / P(B), siempre que P(B) > 0.
- Teorema de Bayes: Permite actualizar la probabilidad de un evento a medida que se dispone de más información. Es útil para procesos de toma de decisiones y análisis estadístico.
› Espacio muestral
El Espacio Muestral es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y representa uno de los pilares básicos en el estudio del Pensamiento Matemático, especialmente para exámenes como el EXANI-II. El espacio muestral, denotado comúnmente como S o Ω, es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Estos resultados son exclusivos y colectivamente exhaustivos, lo que significa que al realizar el experimento, el resultado debe ser uno y solo uno de los elementos del espacio muestral.
Tipos de Espacio Muestral
- Discreto: Cuando el conjunto de posibles resultados es finito o infinito numerable. Por ejemplo, el lanzamiento de un dado tiene un espacio muestral discreto: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Continuo: Se da cuando los posibles resultados forman un rango continuo de valores. Por ejemplo, la medición del tiempo o la temperatura.
Representación Gráfica
Se pueden utilizar diagramas de árbol, tablas, o listas para representar espacios muestrales, especialmente cuando son discretos y no demasiado grandes. Por ejemplo, al lanzar 2 veces una moneda podemos hacer un diagrama de arbol para representar las primeras dos opciones, y luego hacemos una bifurcacion para las ultimas 2 posibilidades.
Ejemplos Prácticos:
- Lanzamiento de una moneda: El espacio muestral es {Cara, Cruz}.
- Lanzamiento de dos dados: Aquí se tiene un espacio muestral más amplio, representado por pares ordenados que muestran los resultados de ambos dados, como {(1,1), (1,2), …, (6,6)}.
› Probabilidad clásica de eventos simples
La “Probabilidad Clásica de Eventos Simples” es un aspecto fundamental en el estudio de la probabilidad, esencial para entender cómo se abordan los problemas en esta área, especialmente para exámenes como el EXANI-II.
En la probabilidad clásica, la probabilidad de un evento simple se define como el cociente entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, asumiendo que todos los casos son igualmente probables. Se expresa matemáticamente como:
Eventos Simples: Son aquellos que no se pueden descomponer en otros eventos más pequeños. Cada evento simple corresponde a un único resultado del experimento.
Ejemplos Prácticos
- Lanzamiento de un Dado:
- Evento: Obtener un número par al lanzar un dado.
- Espacio Muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Casos Favorables: {2, 4, 6} (tres números pares).
- Probabilidad:
- Selección de una Carta:
- Evento: Sacar un as de una baraja estándar.
- Espacio Muestral: 52 cartas en total.
- Casos Favorables: 4 ases en la baraja.
- Probabilidad:
Vídeo Resumen
Preguntas EXANI-II
Pregunta 1 (Ejercicio tomado del Simulador EXANI-II):
En un juego de basquetbol, el árbitro le da 2 tiros libres a un equipo para cobrar 1 falta.
¿Qué diagrama de árbol representa correctamente las diferentes posibilidades de lo que puede ocurrir con los resultados de los tiros libres?
a)  |
b)  |
c)  |
Explicación
Respuesta correcta: a. El diagrama de árbol a) representa correctamente las diferentes posibilidades de los resultados de los tiros libres en un juego de baloncesto. En este diagrama, se observa una estructura de bifurcaciones que comienza con el primer tiro libre, que puede resultar en una canasta o un fallo, y a cada uno de estos resultados le sigue una segunda bifurcación que representa el segundo tiro libre, que también puede ser una canasta o un fallo. Así, el diagrama muestra los cuatro resultados posibles del evento: canasta-canasta, canasta-fallo, fallo-canasta y fallo-fallo. Esta representación es esencial para comprender la naturaleza secuencial de los tiros libres y para calcular la probabilidad de los diferentes resultados posibles en esta situación.
Pregunta 2 (Ejercicio tomado del Simulador EXANI-II):
Al lanzar 2 dados, la probabilidad de que la suma de sus caras superiores sea 10 es _______ la probabilidad de que la suma de dichas caras sea 5.
a) mayor que
b) menor que
c) igual a
Explicación
Respuesta correcta a) menor que. Para encontrar la probabilidad de que la suma de las caras de dos dados sea 5 o 10, se deben contar los pares de números que suman cada total. Para una suma de 5, los pares posibles son (4,1), (3,2), (2,3), (1,4), lo que da 4 combinaciones. Para una suma de 10, los pares posibles son (6,4), (5,5), (4,6), resultando en 3 combinaciones. Dado que hay 36 combinaciones posibles en total (6 caras por dado), la probabilidad de sumar 5 es 4/36 y de sumar 10 es 3/36. Por lo tanto, 4/36 es mayor que 3/36.
Pregunta 3 (Ejercicio tomado del Simulador EXANI-II):
En un juego de feria se utiliza un dado con el cual es dos veces más probable que salga un número par que uno impar. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzarlo salga el número 5?
a) 1/6
b) 1/18
c) 1/9
Explicación
Respuesta correcta c) 1/9. El dado está modificado para que la probabilidad de obtener un número par (2, 4, 6) sea el doble que la de obtener un número impar (1, 3, 5). Por lo tanto, la probabilidad de obtener un número par es 2/3 y la de un número impar es 1/3. Dado que hay tres números impares y cada uno tiene la misma probabilidad de aparecer, la probabilidad de obtener un 5 específico es 1/3 dividido por 3, lo que da como resultado 1/9.
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