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La recta tangente a una función algebraica en un punto específico es una línea recta que toca la gráfica de la función en ese punto y tiene la misma pendiente que la función en dicho punto. La recta tangente es una herramienta fundamental en cálculo diferencial, ya que proporciona una aproximación lineal de la función cerca del punto de tangencia.
Importante:
- Punto de Tangencia:
- Es el punto específico en el que la recta tangente toca la gráfica de la función. Se denota generalmente como (x₀, y₀), donde y₀ es el valor de la función en x₀, es decir, y₀=f(x₀).
- Pendiente de la Recta Tangente:
- La pendiente de la recta tangente en (x₀, y₀)es igual a la derivada de la función en x₀, esto es, f´(x₀).
- La derivada en un punto nos da la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto, que geométricamente corresponde a la pendiente de la recta tangente.
Ecuación de la Recta Tangente
La ecuación de la recta tangente a una función f(x) en el punto x₀ se puede expresar en la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea:
Donde:
- m es la pendiente de la recta tangente, es decir, f´(x₀).
- (x₀, y₀) es el punto de tangencia.
Ejemplos de Cálculo de una Recta Tangente
Supongamos que queremos encontrar la recta tangente a la función f(x=x²) en el punto x₀=1.
1. Calcular el Valor de la Función en x₀:
- Tenemos la función f(x)=x².
- Queremos calcular el valor de f(x) en x₀=1.
- Sustituimos x por 1 en la ecuación: f(1)=1²
- Calculamos:
f(1)=1
- Por lo tanto, el valor de y en x₀=1 es y₀=1.
- Así, el punto de tangencia es (1, 1).
2. Encontrar la Derivada de la Función:
- La función dada es f(x)=x².
- La derivada de x² respecto a x es 2x.
- Por lo tanto, la derivada de la función, f´(x), es:
f´(x)=2x
3. Calcular la Pendiente de la Recta Tangente en x₀=1:
- La derivada en un punto nos da la pendiente de la tangente en ese punto.
- Necesitamos encontrar f´(1)
- Sustituimos x por 1 en la derivada
f´(1)=2*1
- Calculamos: f´(1)=2
- Por lo tanto, la pendiente m de la recta tangente en x₀=1 es 2.
4. Escribir la Ecuación de la Recta Tangente:
- Usamos la fórmula del punto-pendiente para una recta: y-y₁=m(x-x₁).
- Ya sabemos que m=2 y el punto de tangencia es (1, 1)
- Sustituimos estos valores en la ecuación:
y-1=2(x-1)
- Expresamos la ecuación en forma simplificada: y-1=2x-2
- Sumamos 1 a ambos lados de la ecuación para despejar y:
y=2x-1
- Esta es la ecuación de la recta tangente a la función f(x)=x² en el punto x₀=1.
Siguiendo estos pasos, hemos encontrado la ecuación de la recta tangente y=2x-1, que tiene una pendiente de 2 y pasa por el punto (1, 1).
Ahora supongamos que queremos hacerlo en la recta tangente a la función f(x)=x² en el punto x₀=2.
Para encontrar la recta tangente a la función f(x)=x² en el punto x₀=2, seguiremos un proceso similar al anterior, pero con x₀=2. Aquí está el procedimiento paso a paso:
1. Calcular el Valor de la Función en x₀=2:
- Tenemos la función f(x)=x²
- Queremos encontrar el valor de f(x) en x₀=2.
- Sustituimos x por 2 en la ecuación:
f(2)=2²
- Calculamos:
f(2)=4
- Por lo tanto, el valor de y en x₀=2 es y₀=2.
- Así, el punto de tangencia es (2,4).
2. Encontrar la Derivada de la Función:
- La función dada es f(x)=x².
- La derivada de x² respecto a x es 2x.
- Por lo tanto, la derivada de la función, f´(x)es:
f´(x)=2x
3. Calcular la Pendiente de la Recta Tangente en x₀=2:
- La derivada en un punto nos da la pendiente de la tangente en ese punto.
- Necesitamos encontrar f´(2).
- Sustituimos x por 2 en la derivada f´(x)=2x:
f´(x)=2*2
- Calculamos:
f´(x)=4
- Por lo tanto, la pendiente m de la recta tangente en x₀=2 es 4.
4. Escribir la Ecuación de la Recta Tangente:
- Usamos la fórmula del punto-pendiente para una recta: y-y₁=m(x-x₁)
- Ya sabemos que m=4 y el punto de tangencia es (2, 4).
- Sustituimos estos valores en la ecuación:
y-4=4(x-2)
- Expresamos la ecuación en forma simplificada:
y-4=4x-8
- Sumamos 4 a ambos lados de la ecuación para despejar
y=4x-4
- Esta es la ecuación de la recta tangente a la función f(x)=x² en el punto x₀=2.
Nuevamente siguiendo estos mismos pasos, hemos encontrado la ecuación de la recta tangente y=4x-4, que tiene una pendiente de 4 y pasa por el punto (2, 4).
Por ultimo y para que quede claro vamos a hacerlo en la recta tangente a la función f(x)=x² en el punto x₀=3.
- Calcular el Valor de f(x) en x₀=3:
- y₀=f(3)=3²=9
- El punto de tangencia es (3,9).
- La Derivada de f(x) es f´(x)=2x:
- La pendiente en x₀=3 es f´(3)=2×3=6.
- Ecuación de la Recta Tangente:
- Usando la ecuación punto-pendiente: y-9=6(x-3)
- Simplificada, la ecuación es: y=6x-9
Ejercicios EXANI-II
Ejemplo 1 (Ejercicio tomado del simulador EXANI-II):
Seleccione la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=3x²+4 en el punto P(1, 7).
- y = 6x + 1
- y = 7x + 1
- y = 6x – 41
Resolución:
Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=3x²+4 en el punto P(1, 7), seguiremos los siguientes pasos:
- Encontrar la derivada de la función: La derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente en ese punto. Para f(x)=3x²+4, la derivada f´(x) es:
Aplicamos la regla de la potencia para derivar 3x²:
- Calcular la pendiente en el punto dado: Sustituimos x=1 en f´(x) para encontrar la pendiente de la tangente en P(1, 7):
Por lo tanto, la pendiente de la tangente en P es 6.
- Usar la ecuación punto-pendiente de la recta: La ecuación punto-pendiente es y-y₁=m(x-x₁), donde m es la pendiente y (x₁, y₁) es un punto por el que pasa la recta. En nuestro caso, m=6 y (x₁ y₁)=(1, 7):
- Despejar y para obtener la ecuación de la recta tangente:
Por lo tanto, la ecuación correcta de la recta tangente a f(x)=3x²+4 en P(1, 7) es y = 6x + 1.
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