Las ecuaciones son una herramienta fundamental en las matemáticas y son uno de los temas más importantes que se evalúan en el examen de admisión EXANI-II del Ceneval. En la sección de pensamiento matemático, se abordan diversos temas, como la aritmética, la geometría, la estadística, la proporcionalidad, los porcentajes, las expresiones algebraicas, la relación entre cantidades y las ecuaciones.
¿Qué son las ecuaciones?
Las ecuaciones son expresiones matemáticas que indican que dos cantidades son iguales. Las ecuaciones tienen un lado izquierdo y un lado derecho, y se utilizan letras y números para representar las cantidades desconocidas. Las ecuaciones se utilizan para resolver problemas matemáticos y para encontrar el valor desconocido de una variable.
Clasificación de Ecuaciones
Las ecuaciones pueden clasificarse de manera eficaz al considerar su grado, es decir, el mayor exponente de la variable dentro de la ecuación. Esta clasificación es crucial para entender su estructura y los métodos de resolución adecuados. A continuación, se presenta una clasificación mejorada de ecuaciones, organizada por grados:
Ecuaciones de Primer Grado (Lineales)
Son aquellas ecuaciones donde la variable tiene un exponente máximo de uno. Generalmente tienen la forma ax + b = c. Estas ecuaciones se resuelven despejando la variable. La solución representa el punto donde una línea recta corta al eje en un gráfico.
Ecuaciones de Segundo Grado (Cuadráticas)
Son ecuaciones en las que la variable alcanza un exponente máximo de dos. Su forma general es ax² + bx + c = 0. Las soluciones pueden ser reales o complejas y se encuentran usando métodos como la factorización, la fórmula cuadrática, o completando el cuadrado. Gráficamente, representan parábolas.
Ecuaciones de Tercer Grado (Cúbicas)
Estas ecuaciones tienen una variable elevada al cubo como término de mayor grado. La forma general es ax³ + bx² + cx + d = 0. La resolución de estas ecuaciones puede requerir métodos más avanzados, como el método de Cardano para ecuaciones cúbicas.
Resolución de Ecuaciones
La resolución de ecuaciones es una habilidad esencial en Pensamiento matemático, y algunos de los métodos más utilizados son el despeje, la factorización y la fórmula cuadrática. Estos métodos son aplicables a diferentes tipos de ecuaciones que encontraras en tu examen de admisión EXANI-II, principalmente te ayudaran con ecuaciones lineales y cuadráticas.
Despeje
El despeje es uno de los métodos más fundamentales y se utiliza ampliamente en ecuaciones lineales. Consiste en aislar la incógnita en un lado de la ecuación, realizando operaciones matemáticas equivalentes en ambos lados. Los fundamentos que debes entender para resolver una ecuación son:
- Se trata de una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
- Cada vez que un término se mueva de un miembro a otro debe pasar con su operación opuesta.
SUMA – RESTA
MULTIPLICACION – DIVISION
POTENCIA – RAIZ
- Hay que despejar la incógnita y aislarla para obtener su valor.
Siguiendo estos fundamentos, resolveremos la siguiente ecuación paso a paso. La ecuación es:
3x−7=2x+5.
Primero, moveremos 2x del lado derecho al izquierdo. Para hacer esto, moveremos el +2x que esta sumando al lado izquierdo restando (la operación opuesta de la suma es la resta).
3x−7=2x+5.
3x−2x−7=+5
Luego, moveremos el -7 del lado izquierdo al derecho. La operación opuesta de la resta es la suma, así que lo movemos sumando.
3x−2x−7=+5
3x−2x=+5+7
Simplificando:
x=12
Entonces, el valor de x que satisface la ecuación original 3x−7=2x+5 es x=12.
Factorización
La factorización es clave en la resolución de ecuaciones cuadráticas y polinómicas. Este método transforma la ecuación en un producto de factores más simples. Para una ecuación cuadrática ax²+bx+c=0, los pasos son:
- Buscar Factores: Encontrar dos números que sumen b y cuyo producto sea ac.
- Reescribir la Ecuación: Usar estos números para reescribir el término lineal bx.
- Agrupar y Factorizar: Agrupar términos y factorizar en dos binomios.
Por ejemplo, para x²+5x+6=0, se factoriza como (x+2)(x+3)=0.
Fórmula Cuadrática
La fórmula cuadrática es un método universal para resolver ecuaciones cuadráticas, dada por:
Donde a, b, y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática ax²+bx+c=0
- Determinar Coeficientes: Identificar los valores de a, b, y c en la ecuación.
- Calcular el Discriminante: b²−4ac. Este valor determina la naturaleza de las soluciones (reales y distintas, reales y repetidas, o complejas).
- Aplicar la Fórmula: Sustituir los valores de a, b, y c en la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.
Por ejemplo, vamos a resolver la ecuación cuadrática 2x² – 3x – 2 = 0 utilizando la fórmula cuadrática.
Primero, identificamos los coeficientes de la ecuación:
a=2, b=−3, y c=−2.
Luego, calculamos el discriminante:
Finalmente, sustituimos los valores de a, b, y c en la fórmula cuadrática para obtener las soluciones:
Esto nos da las soluciones:
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática 2x² – 3x – 2 = 0 son x=2 y x=−0.5.
Vídeo Resumen
Preguntas EXANI-II
¿Qué valor de “z” hace que la siguiente ecuación sea verdadera: 5z + 3 = 2z – 7?
a) -9/3
b) -10/3
c) 5/8
Explicación
Respuesta correcta b) -10/3. Para resolver la ecuación 5z + 3 = 2z – 7, primero se reorganizan los términos para aislar la variable z. Restando 2z de ambos lados de la ecuación, obtenemos 3z + 3 = -7. Luego, restando 3 de ambos lados, se obtiene 3z = -10. Finalmente, dividiendo ambos lados por 3, encontramos z = -10/3. Las otras opciones no satisfacen la ecuación original: a) -9/3 (o -3) y c) 5/8 no son soluciones de la ecuación dada.
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