El módulo de Cálculo Diferencial e Integral en el EXANI-II es uno de los más retadores, ya que mide no solo tu dominio de operaciones algebraicas avanzadas, sino también tu capacidad de razonamiento matemático aplicado a límites, derivadas, integrales y sus aplicaciones.
Este simulador está diseñado para ponerte en las mismas condiciones del examen real, permitiéndote identificar tus aciertos y errores, reforzar tus áreas débiles y practicar con reactivos que se parecen mucho a los que verás el día de la prueba.
Las preguntas están clasificadas por tema, de manera que podrás identificar a qué concepto corresponde cada reactivo. Algunos temas estarán disponibles de forma gratuita, pero si quieres acceso a todas las explicaciones detalladas y materiales complementarios, podrás desbloquear el curso completo en Pasatuexam para prepararte de manera integral y aumentar tus posibilidades de lograr tu lugar en la universidad.
¿Qué mide este simulador?
El simulador de Cálculo Diferencial e Integral evalúa tu capacidad en:
- Límites: propiedades, cálculo directo y al infinito.
- Derivadas: definición formal, reglas de derivación, derivadas de funciones polinómicas, exponenciales, trigonométricas y compuestas.
- Aplicaciones de la derivada: recta tangente, velocidad instantánea, optimización y problemas de la vida real.
- Integrales: definidas e indefinidas, reglas básicas de integración.
- Métodos de integración: sustitución trigonométrica, integración por partes y manipulación algebraica.
- Aplicaciones de la integral definida: cálculo de áreas bajo la curva, distancias recorridas, áreas encerradas por funciones.
Estos temas no solo son clave en el examen, también son la base de asignaturas universitarias como matemáticas avanzadas, física, economía y todas las ingenierías.
SIMULADOR DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Cálculo diferencial: Propiedades de los Limites y Funciones
Relacione cada propiedad de los límites con la solución correspondiente para dos funciones f(x) y g(x) cuyos límites existen.
| Propiedad | Solución |
| 1. Producto 2. Cociente 3. Multiplicación escalar |  |
- 1a, 2c, 3b
- 1b, 2c, 3a
- 1c, 2b, 3a
Resolución:
Respuesta correcta: c) 1c, 2b, 3a.
El ejercicio proporcionado es una tabla que relaciona las propiedades de los límites con sus correspondientes soluciones algebraicas. La tabla está dividida en tres propiedades: Producto, Cociente y Multiplicación escalar, y a la derecha tiene las soluciones matemáticas respectivas a cada propiedad.
Con esta información, debemos relacionar cada propiedad con la solución correcta:
- La propiedad 1 corresponde a la solución que muestra el producto de los límites de dos funciones f(x) y g(x), que es la expresión en la columna “Solución” etiquetada con “a“.
- La propiedad 2 corresponde a la solución que muestra el límite del cociente de dos funciones, que es la expresión etiquetada con “b“.
- La propiedad 3 corresponde a la solución que muestra un escalar multiplicado por el límite de una función, que es la expresión etiquetada con “c“.
Por lo tanto, la relación correcta entre las propiedades y las soluciones dadas en las opciones es la opción (c): 1c, 2b, 3a. Esto significa que:
- El Producto (1) se relaciona con la solución “c”.
- El Cociente (2) se relaciona con la solución “b”.
- La Multiplicación escalar (3) se relaciona con la solución “a”.
2. Seleccione el valor del límite en la siguiente función.
- -22
- -6
- 26
Resolución:
Respuesta correcta: c) 26
Para resolver este problema, vamos a calcular el límite de la función dada cuando se acerca a 2. La función es:
Para encontrar el límite de una función polinómica como esta cuando se acerca a un número específico, simplemente sustituimos ese número en la función. Esto se debe a que las funciones polinómicas son continuas en todos los números reales, lo que significa que el límite de la función en cualquier punto es simplemente el valor de la función en ese punto.
Sustituimos = 2 en la función:
Por lo tanto, el valor del límite cuando se acerca a 2 es 26. La respuesta correcta es 26.
3. Calcule el valor del límite en la función.
- – 3/9
-2/3
-3/2
Resolución:
Respuesta correcta: b) -2/3
Cálculo diferencial: La Derivada
4. Seleccione el límite de la función f(x) = 9x² + 12x + 3, por medio del cual se obtiene la derivada por definición.
Resolución:
Respuesta correcta: b)
5. Calcule la derivada de la función polinomial: f(x) = x³ + 4x² + 2x – 7
a) 3x² + 8x
b) 3x² + 8x + 2
c) 3x² + 4x + 2
Resolución:
Respuesta correcta: b) 3x² + 8x + 2
6. ¿Cuál es la derivada del cociente ?
Resolución:
7. Identifique la derivada de la función.
Resolución:
8. Identifique la derivada de la composición f(g(x))considerando las siguientes funciones.
Resolución:
9. Elija la derivada de la función trigonométrica.
f (x) = 3 tan x
Resolución:
10. Seleccione la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
f (x) = 3x² + 4 en el punto P(1, 7).
a) y = 6x + 1
b) y = 7x + 1
c) y = 6x – 41
Resolución:
Cálculo diferencial: Aplicaciones de la derivada
11. La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es s(t) = t(1.5t-2). ¿Cuál es la velocidad instantánea que lleva el móvil a los 4 segundos?
- 10 m/s
- 12 m/s
- 14 m/s
Resolución:
Respeusta correcta: a) 10 m/s
Para resolver este ejercicio, primero necesitamos entender que la función dada, s(t) = t(1.5t-2), representa la distancia recorrida por un móvil en función del tiempo. La pregunta es acerca de la velocidad instantánea del móvil a los 4 segundos. La velocidad instantánea, en términos de cálculo, es simplemente la derivada de la función de posición con respecto al tiempo.
Dado que s(t) es el producto de dos términos, t y 1.5t – 2, utilizamos la regla del producto para derivarla.
Cálculo integral: La integral
12. ¿Qué propiedad se utiliza para resolver la siguiente integral?
Resolución:
13. Identifique la partición que más se aproxima al área bajo la curva.
Resolución:
Respuesta correcta: opción C
En la imagen se presentan tres gráficos que representan el método de sumas de Riemann para calcular el área bajo una curva. La idea detrás de este método es aproximar el área bajo la curva utilizando rectángulos cuyas alturas son los valores de la función en puntos específicos y cuyas bases son intervalos uniformes a lo largo del eje x.
La precisión de esta aproximación depende del número de rectángulos utilizados: mientras más rectángulos, más pequeña será la base de cada uno y, por lo tanto, la suma del área de los rectángulos se aproximará mejor al área real bajo la curva.
Vamos a analizar cada uno:
- Primer gráfico (izquierda): La partición de los rectángulos es relativamente grande. Esto significa que hay pocos rectángulos y, por lo tanto, la base de cada rectángulo es más ancha. La altura de los rectángulos no sigue tan de cerca la curva, por lo que la aproximación al área real bajo la curva no es tan precisa.
- Segundo gráfico (medio): La partición sigue siendo bastante grande, aunque parece un poco más ajustada que en el primer gráfico. Sin embargo, la base de los rectángulos sigue siendo lo suficientemente amplia como para que la aproximación no sea precisa.
- Tercer gráfico (derecha): Aquí, la partición de los rectángulos es mucho más pequeña. Esto significa que hay más rectángulos y que cada uno tiene una base más estrecha. La altura de los rectángulos sigue mucho más de cerca la curva en comparación con los dos gráficos anteriores, lo que resulta en una mejor aproximación del área bajo la curva.
Por lo tanto, basándonos en la descripción y en lo que podemos observar, el tercer gráfico es el correcto ya que la suma del área de los rectángulos es la que más se aproxima al área bajo la curva debido a que la partición de los rectángulos es más pequeña. Esto proporciona la mejor aproximación de las tres opciones presentadas.
Cálculo integral: Métodos de integración
14. Identifique la sustitución que ayuda a resolver la integral de la función.
- x = sec α
- x = tan α
- x = cos α
Resolución:
Respuesta correcta: opción c
Las sustituciones trigonométricas son una técnica de integración que se utiliza cuando nos encontramos con integrales que involucran raíces cuadradas de expresiones cuadráticas. La idea detrás de las sustituciones trigonométricas es utilizar las identidades trigonométricas para simplificar la expresión bajo la raíz cuadrada y transformar la integral en una forma más sencilla que podemos integrar.
Las sustituciones trigonométricas se basan en las propiedades de los triángulos rectángulos y las identidades pitagóricas. Hay tres formas principales de expresiones cuadráticas que sugieren qué tipo de sustitución trigonométrica usar:
Estas sustituciones convierten una integral difícil en una integral trigonométrica estándar, que a menudo es mucho más fácil de resolver. Además, estas sustituciones están ligadas a la geometría de los triángulos rectángulos, lo que significa que podemos dibujar un triángulo rectángulo para visualizar y entender mejor la relación entre las variables y la sustitución.
Después de realizar la integración con la variable trigonométrica, debemos recordar convertir nuestra respuesta de nuevo a términos de la variable original, usando la sustitución inversa. Esto cierra el proceso y asegura que la solución es en términos de la variable que se presentó inicialmente en el problema.
15. Calcule la integral de la función trigonométrica.
Resolución:
16. Identifique la función que se resuelve como integral inmediata mediante manipulación algebraica.
Resolución:
17. Calcule la siguiente integral.
Resolución:
19. Calcule la integral de la función exponencial.
Resolución:
Cálculo integral: Aplicaciones de la integral definida
20. Calcule el valor de la integral definida de la función.
Resolución:
21. Seleccione la gráfica que refleja la resolución de la integral.
Resolución:
22. Calcule la distancia en metros que recorre en los primeros 4 segundos una piedra que se arroja desde un edificio si ésta tiene en el instante t = 0 una velocidad de v= 9.8 t + 8
- 9.8
- 51.6
- 110.4
- 85.6
Resolución:
23. Determine el área encerrada por la función f (x) = 4 – x² y el eje
Resolución:
24. Elija la gráfica en la que se muestra que la derivada de la función cambia exactamente 2 veces de signo y en la que una de sus raíces coincide con un punto crítico.
Resolución:
Respuesta correcta: Opción A
Para resolver este ejercicio y elegir la gráfica correcta donde la derivada de la función cambia dos veces de signo y uno de sus ceros coincide con un punto crítico, debemos seguir estos pasos:
- Identificar Puntos Críticos: Un punto crítico se da donde la primera derivada de la función es cero o no está definida. En un gráfico, estos puntos se corresponden con los máximos, mínimos o puntos de inflexión de la función.
- Observar Cambios en la Derivada: Buscamos cambios en la pendiente de la función, es decir, donde la derivada cambia de positiva a negativa (o viceversa), lo cual se muestra como un cambio de dirección en la curva de la función.
- Encontrar Raíces que Coinciden con Puntos Críticos: Las raíces de la función son los puntos donde la función cruza el eje x (donde f(x)=0). Necesitamos encontrar una gráfica donde una de estas raíces también sea un punto crítico.
- Contar Cambios de Signo: Contamos los cambios de signo en la función derivada que corresponden a los cambios en la dirección de la curva en el gráfico de la función. Necesitamos exactamente dos cambios de signo.
Ahora vamos a aplicar estos pasos a las gráficas proporcionadas en el EXANI-II:
- En la primera gráfica (A), vemos que hay varios puntos donde la curva cambia de dirección, lo que sugiere múltiples cambios de signo en la derivada, por lo tanto, más de dos cambios de signo, además pasa por un punto crítico (0) por lo tanto esta grafica cumple con los requisitos .
- En la segunda gráfica, vemos que hay varios puntos donde la curva cambia de dirección, lo que sugiere múltiples cambios de signo en la derivada, por lo tanto, más de dos cambios de signo, pero esta no pasa por un punto crítico (0) por lo tanto esta grafica no cumple con los requisitos.
- En la tercera gráfica, hay dos puntos donde la curva cambia de dirección, pero no cambia en ningún punto crítico, así que tampoco cumple los requisitos.
Por lo tanto, la gráfica correcta según la descripción dada en el ejercicio sería la primera, porque muestra una función cuya derivada cambia dos veces de signo y una de sus raíces (en el origen) coincide con un punto crítico.
Recomendaciones finales
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- Analiza tus errores: no memorices únicamente las respuestas, entiende el procedimiento y la lógica detrás de cada ejercicio.
- Vuelve a repasar los temas clave: si fallaste en límites o integrales, refuérzalos antes de avanzar a nuevos temas.
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